Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，OB=

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．且點(diǎn)B橫坐標(biāo)是點(diǎn)B縱坐標(biāo)的2倍．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為m，△ABO面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的2倍，且OB=

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，結(jié)合勾股定理，即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)已知的情況下，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)也可求出，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，利用待定系數(shù)法，可求出解析式，從而可求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．
再進(jìn)一步利用求和的方法，求三角形ABO的面積時(shí)，可列出等量關(guān)系，從而得出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為t，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2t．
根據(jù)題意，得（2t）²+t²=（

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）²，
∵t＜0，
∴t=-1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1）．
設(shè)反比例函數(shù)為y=

k1

x

，得
k₁=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

．

（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

2

m

）．
根據(jù)直線AB為y=kx+b，可以把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得

-2k+b=-1 mk+b= 2 m

，解得

k= 1 m b= 2-m m

．
∴直線AB為y=

1

m

x+

2-m

m

．
當(dāng)y=0時(shí)，

1

m

x+

2-m

m

=0，
∴x=m-2，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（m-2，0）．
∵S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD，
∴S=

1

2

×|m-2|×|

2

m

|+

1

2

×|m-2|×1，
∵m-2＜0，

2

m

＞0，
∴S=

2-m

m

+

2-m

2

，
∴S=

4-m2

2m

．
且自變量m的取值范圍是0＜m＜2．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、待定系數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合思想，難易程度適中．