Question

如圖，已知拋物線y = ax² + bx－4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，⊙M的半徑為．

（1）求m的值及拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥，交于點(diǎn)，連接CP，當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)在（1）中拋物線上，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：(1)過(guò)M作MK⊥y軸，連接MC，

由勾股定理得CK=3，∴OK=1，

 ∴m=-1

過(guò)M作MQ⊥  y軸，連接MB，

由勾股定理得BQ=3，∴B(4，0)

又M在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，∴A(-2，0)

∴  解得： 

∴拋物線的解析式為：   

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)（如圖）。

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），

∴AB=6，AP=m+2

∵BC∥PN，∴△APN∽△ABC

∴，∴，∴ 

∴

∴當(dāng)m=1時(shí)，有最大值3。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）

（3）、 、、 

【解析】(1)過(guò)M作MK⊥y軸，連接MC，利用勾股定理即可求得m的值，過(guò)M作MQ⊥y軸，連接MB，利用勾股定理即可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證得△APN∽△ABC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可表示出NH，從而得到面積的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征即可求得當(dāng)的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)平行四邊形的特征分類(lèi)討論。