Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB邊上的點，CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）△ACD和△CBF全等嗎？請說明理由；
（2）判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；
（3）當點D在線段BC上移動到何處時，∠DEF=30°．

Answer 1

解：（1）△ACD≌△CBF
證：∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC
∠ACD=∠B=60°
∵CD=BF
∴△ACD≌△CBF（SAS）

（2）四邊形CDEF為平行四邊形
∵△ACD≌△CBF
∴∠DAC=∠BCF，CF=AD
∵△AED是等邊三角形
∴AD=DE
∴CF=DE①
∵∠ACG+∠BCF=60°
∴∠ACG+∠DAC=60°
∴∠AGC=180°-（∠ACG+∠DAC）=120°
∴∠DGF=∠AGC=120°
∵△AED是等邊三角形
∴∠ADE=60°
∴∠DGF+∠ADE=180°
∴CF∥DE②
綜合①②可得四邊形CDEF是平行四邊形．

（3）∵AC=BC，
當點D是BC中點時，BF=CD=BC=AB，
∴CF為AB邊上的中線，CF平分∠ACB，
∴∠DEF=∠ACB=30°，
∴當點D是BC中點時，∠DEF=30°．
分析：（1）△ACD和△CBF中，已知的條件有：AC=BC，CD=BF，∠ACD=∠CBF=60°；根據SAS即可判定兩個三角形全等．
（2）由（1）的全等三角形知：AD=CF，即DE=CF=AD；因此只需判斷DE與CF是否平行即可．
由（1）的全等三角形，可得∠DAC=∠BCF，而∠BCF+∠ACG=60°，即∠CAD+∠ACG=60°；根據三角形外角的性質，可得∠AGF=60°=∠CGD，由此可判定DE∥FC，即可得出四邊形CDEF的形狀．
（3）由于四邊形EDCF是平行四邊形，當∠DEF=30°時，∠DCF=30°；由（2）知：∠DCF=∠DAC，因此∠DAC=30°，即D點移動到BC中點時∠DEF=30°．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形及平行四邊形的判定和性質等知識，綜合性較強，難度較大．