如圖所示,⊙O的直徑AB=2,AD,BC是它的兩條切線,且CD與⊙O相切于點(diǎn)E,交AD,BC于精英家教網(wǎng)點(diǎn)D,C,設(shè)AD=x,BC=y.
(1)求證:AD+BC=CD;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系,并畫去它的圖象;
(3)若x,y是方程2t2-5t+m=0的兩根,求x,y的值;
(4)求四邊形的ABCD的面積S,(用字母表示)并證明S≥2.
分析:(1)首先連接OE,由AD,BC是它的兩條切線,CD與⊙O相切于點(diǎn)E,根據(jù)切線長定理,即可得AD=DE,EC=BC,又由CD=DE+CE,即可證得AD+BC=CD;
(2)過點(diǎn)D作DM⊥BC于M,由AD,BC是它的兩條切線,可得AB⊥AD,AB⊥BC,即可證得四邊形ABMD是矩形,則可求得DM與CM的長,由勾股定理,即可得方程(x+y)2=4+(y-x)2,解此方程組即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系;
(3)由x,y是方程2t2-5t+m=0的兩根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得m的值,然后解方程即可求得x,y的值;
(4)根據(jù)(3)可得四邊形ABCD是梯形,根據(jù)梯形面積的求解方法,可得S=xy,又由y=
1
x
,根據(jù)幾何不等式的性質(zhì),即可證得S≥2.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OE,
∵AD,BC是它的兩條切線,CD與⊙O相切于點(diǎn)E,
∴AD=DE,EC=BC,
∴CD=DE+EC=AD+BC,
即:AD+BC=CD;

(2)解:過點(diǎn)D作DM⊥BC于M,
∵AD,BC是它的兩條切線,精英家教網(wǎng)
∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∴∠A=∠B=∠BMD=90°
∴四邊形ABMD是矩形,
∴DM=AB=2,BM=AD=x,
∴CD=AD+BC=x+y,CM=BC-BM=y-x,
∵CD2=DM2+CM2精英家教網(wǎng)
∴(x+y)2=4+(y-x)2,
即:y=
1
x
,
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為:y=
1
x
,
它的圖象為:

(3)∵x,y是方程2t2-5t+m=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系得:
∴xy=
m
2
=1,
解得:m=2,
∴原方程為:2t2-5t+2=0
∴(2t-1)(t-2)=0,
解得:t=
1
2
或t=2,
∴x=
1
2
,y=2;

(4)∵AD∥BC,
∴四邊形ABCD是梯形,
∴S梯形ABCD=
1
2
(AD+BC)•DM=
1
2
(x+y)•2=x+y,
∵y=
1
x
,
∴S=x+y=x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2,
∴S≥2.
點(diǎn)評:此題考查了切線的性質(zhì),梯形的性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,反比例函數(shù)的性質(zhì)以及幾何不等式的應(yīng)用.此題綜合性較強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法.
練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,⊙O的直徑AB=4,點(diǎn)P是AB延長線上的一點(diǎn),過P點(diǎn)作⊙O的切線,切點(diǎn)精英家教網(wǎng)為C,連接AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的長;
(2)若點(diǎn)P在AB的延長線上運(yùn)動,∠CPA的平分線交AC于點(diǎn)M,你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變化,求出∠CMP的大小.

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