Question

已知：函數(shù)y=mx²-（4m+1）x+3m+3與x軸兩交點橫坐標(biāo)均為正整數(shù)，且m為整數(shù)．直線y=-x+b經(jīng)過反比例函數(shù)上的點Q（4，a）．假設(shè)該直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，它與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連接OP、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)與x軸有兩個交點，所以m必不為0，首先求出該函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)這兩個橫坐標(biāo)為正整數(shù)以及m為整數(shù)求出m的值，據(jù)此能得到反比例函數(shù)的解析式以及點Q的坐標(biāo)，將點Q坐標(biāo)代入直線y=-x+b中，能求出b的值，進(jìn)而能得到點A、B以及點P的坐標(biāo)；通過觀察圖形不難看出，△OPQ的面積可由△OAB的面積減去△OBP、△OAQ的面積和得出，據(jù)此思路解題．
解答：解：依題意，令：mx²-（4m+1）x+3m+3=0，
解得：x₁=3，x₂==1+，m取正整數(shù)1．
∴反比例函數(shù)：y=，一次函數(shù)：y=-x+5，點Q（4，1）；
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，有：
，解得 、
∴點P（1，4）；
易知：A（5，0）、B（0，5）；
S_△OPQ=S_△OAB-S_△OAQ-S_△OBP
=×5×5-×5×1-×1×5
=7.5；
即：△OPQ的面積為7.5．
點評：解答此題的難點是求出m的值，這就要熟練掌握二次函數(shù)與方程間的聯(lián)系；在求三角形的面積時，要注意圖形間的面積和差關(guān)系；整體的難度并不大．