Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AD=

2

，∠DAB=45°，AB=3，如果把該平行四邊形折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合，那么折痕EF的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：由于已知∠DAB=45°，AD=

2

，可以構(gòu)造45°的直角三角形△ADG，利用勾股定理可求AG、GD，由折疊可證四邊形AECF為菱形，利用勾股定理，在Rt△AGE中求菱形邊長(zhǎng)，在Rt△AGC中求菱形對(duì)角線AC的長(zhǎng)，根據(jù)菱形計(jì)算面積的兩種方法，建立等式求EF．

解答：解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作CD的垂線，與CD的延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，連接AE，CF，
∵AD=

2

，∠DAB=45°，
∴△ADG為等腰直角三角形，AG=GD=1，
設(shè)AE=x，由折疊可知，EC=AE=x，DE=3-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：AG²+GE²=AE²，
即：1²+（1+3-x）²=x²，解得x=

17

8

；
在Rt△AGC中，由勾股定理得：
AC=

AG2+GC2

=

12+(1+3)2

=

17

，
∵EF⊥AC，根據(jù)菱形AECF計(jì)算面積的方法可知，
AG×EC=

1

2

×EF×AC，即1×

17

8

=

1

2

×EF×

17

，
解得：EF=

17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對(duì)應(yīng)邊、角相等；同時(shí)，考查了構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題的方法．