Question

如圖，對稱軸為直線l的拋物線y=ax²+bx+c與坐標軸交于點A、C，且OA=2OC=1．則下列結(jié)論：①當x＜0時，y隨x的增大而增大；②4a+2b+1＞0；③b＜

8

5

；④2a+b＜0．其中正確的結(jié)論有（　　）個．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：壓軸題,數(shù)形結(jié)合

分析：由OA=2OC=1可得到A點坐標為（0，1），C點坐標為（-

1

2

，0），把它們代入解析式得到c=1，

1

4

a-

1

2

b+1=0，即a=2b-4；由于拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，且開口向下則當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x=2時y＜0，則4a+2b+c＜0，把c=2代入后得到4a+2b+1＜0；再把a=2b-4代入4a+2b+1＜0可解得b＞

3

2

，又x=1時y＞0，則a+b+1＞0，
再把a=2b-4代入a+b+1＞0可解得b＞1，則1＜b＜

3

2

；由于對稱軸方程滿足0＜-

b

2a

＜1，而a＜0，變形即可得到2a+b＜0．

解答：解：∵OA=2OC=1，
∴A點坐標為（0，1），C點坐標為（-

1

2

，0），
∴c=1，

1

4

a-

1

2

b+1=0，即a=2b-4，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，且開口向下，
∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，所以①正確；
∵x=2時y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
而c=1，
∴4a+2b+1＜0，所以②錯誤；
把a=2b-4代入4a+2b+1＜0得到4（2b-4）+2b+1＜0，解得b＜

3

2

，
∵x=1時y＞0，則a+b+1＞0，
把a=2b-4代入a+b+1＞0得2b-4+b+1＞0，解得b＞1，
∴1＜b＜

3

2

，所以③錯誤；
∵0＜-

b

2a

＜1，而a＜0，
∴-b＞2a，即2a+b＜0，所以④正確．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．