Question

（2002•崇文區(qū)）已知：如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線(xiàn)PBC交⊙O于點(diǎn)B、C，PD⊥AB于點(diǎn)D，PD、AO的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：△PBD∽△PEC；
（2）若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證兩三角形相似，在此題所給的已知條件中，可運(yùn)用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等來(lái)證明，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有兩種表示方法，從而得出一個(gè)等積式，根據(jù)切割線(xiàn)定理，再得到一個(gè)等積式，從而借助于PA²得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，進(jìn)而解答；
（2）由（1）得∠C=90°，所以BF是直徑，得∠BAF=90°，作OH⊥AB于H點(diǎn)，則∠HOA=∠EAF，在△HOA中求半徑OA的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴AO⊥PA．
∵PD⊥AB，
∴=cos∠APE=．
∴PA²=PD•PE…①
∵PBC是⊙O的割線(xiàn)，PA為⊙O切線(xiàn)，
∴PA²=PB•PC…②
聯(lián)立①②，得PD•PE=PB•PC，
即．
又∠BPD=∠EPC，
∴△PBD∽△PEC．

（2）解：連接BF，作OH⊥AB于H點(diǎn)，
∵△PBD∽△PEC，
∴∠C=∠PDB=90°．
∴BF是直徑．
∴∠BAF=90°．
∵OH⊥AB，
∴OH∥AF．
∴∠EAF=∠HOA．
∴tan∠EAF=tan∠HOA=AH：OH=2：3．
又AB=12，
∴AH=6．
∴OH=9．
∴OA==3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)、切割線(xiàn)定理，以及相似的判定，比較全面，難易程度適中．