Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B為反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以A，B為頂點(diǎn)構(gòu)造菱形ABCD．

（1）如圖1，點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線BD∥x軸，菱形ABCD面積為，求k的值．

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)至某一時(shí)刻，點(diǎn)C，點(diǎn)D恰好落在x軸和y軸正半軸上，此時(shí)∠ABC＝90°，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）A（，），點(diǎn)B（，）

【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)可得BD=2BE=6，AC⊥DB，由菱形的面積公式可求AC＝，設(shè)點(diǎn)B（4，a），則點(diǎn)A（1， +a），代入解析式可求a的值，從而求出k的值；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A（m，）由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DO=CF=m，DE＝OC＝BF＝﹣m，可表示B坐標(biāo)，代入解析式可求解．

解：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線BD∥x軸，

∴BE＝4﹣1＝3，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD＝2BE＝6，AC⊥DB，

∵菱形ABCD面積為，

∴×BD×AC＝，

∴AC＝，

∴AE＝CE＝，

設(shè)點(diǎn)B（4，a），則點(diǎn)A（1， +a），

∵點(diǎn)A，B為反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上的兩個(gè)點(diǎn)，

∴4a＝1×（+a），

∴a＝，

∴k＝4a＝；

（2）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠ADE+∠EAD＝90°，∠EDA+∠CDO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∠BCF+∠DCO＝90°，

∴∠EAD＝∠CDO＝∠BCF，且∠AED＝∠DOC＝90°，AD＝CD，

∴△AED≌△DOC（AAS），

∴AE＝DO，ED＝OC，

同理可得：BF＝OC，CF＝DO，

設(shè)點(diǎn)A（m，），

∴AE＝DO＝CF＝m，DE＝OC＝BF＝﹣m，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)（，﹣m），

∴（﹣m）＝，

∴m1＝，m2＝﹣（舍去），

∴點(diǎn)A（，），點(diǎn)B（，）．