Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用t表示出CD以及AE的長(zhǎng)，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng)，即可證明；
（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）分別從∠EDF=90°與∠DEF=90°兩種情況討論即可求解．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4tcm，AE=2tcm，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴DF=AE；

（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即當(dāng)t=10時(shí)，?AEFD是菱形；

（3）解：當(dāng)t=$\frac{15}{2}$時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．
理由如下：
當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4tcm，
∴DF=AE=2tcm，
∴AD=2AE=4tcm，
∴4t+4t=60，
∴t=$\frac{15}{2}$時(shí)，∠EDF=90°．
當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，DE⊥EF，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
AD=AC-CD=60-4t（cm），AE=DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴60-4t=t，
解得t=12．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{15}{2}$時(shí)△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；當(dāng)t=12時(shí)，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了動(dòng)點(diǎn)問題、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．