Question

（2012•無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以

3

cm/s的速度，沿AC向C作勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請說明PQ∥BC；
（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論；
（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，構(gòu)建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t，然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程，通過解方程即可求得t的值；
如圖3，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)以及（2）中求得t的值來確定此時(shí)t的取值范圍；
如圖4，⊙P過點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，通過解方程求得t的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=

1

2

∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如圖1，連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，
∴OB=

1

2

AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴OA=

3

（cm），AC=2OA=2

3

（cm），
運(yùn)動(dòng)ts后，AP=

3

t，AQ=t，
∴

AP

AQ

=

AC

AB

=

3

又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的對應(yīng)角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）…5分

（2）如圖2，⊙P與BC切于點(diǎn)M，連接PM，則PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t
由PM=PQ=AQ=t，即

3

-

3

2

t=t
解得t=4

3

-6，此時(shí)⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)；

如圖3，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴當(dāng)4

3

-6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

如圖4，⊙P過點(diǎn)C，此時(shí)PC=PQ，即2

3

-

3

t=t，∴t=3-

3

．
∴當(dāng)1＜t≤3-

3

時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，即t=2時(shí)，⊙P過點(diǎn)B，此時(shí)，⊙P與邊BC有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴當(dāng)t=4

3

-6或1＜t≤3-

3

或t=2時(shí)，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)4

3

-6＜t≤1時(shí)，⊙P與邊BC有2個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及相似三角形的判定等性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，根據(jù)⊙P的運(yùn)動(dòng)過程來確定t的值，以防漏解．