Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點C的坐標(biāo)為（0，-3），B是射線CO上的一個動點，經(jīng)過B點的直線交x軸于點A（直線AB總有經(jīng)過第二、四象限），且OA=2OB，動點P在直線AB上，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m，線段CB的長度為t．
（1）當(dāng)t=7，且點P在第一象限時，連接PC交x軸于點D．
①直接寫出直線AB的解析式；
②當(dāng)CD=PD時，求m的值；
③求△ACP的面積S．（用含m的代數(shù)式表示）
（2）是否同時存在m、t，使得由A、C、O、P為頂點組成的四邊形是等腰梯形？若存在，請求出所有滿足要求的m、t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)t=7時，即CB=7，由OC=3，OA=2OB求出A，B兩點的坐標(biāo)，再設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A，B兩點的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
②過P作PH⊥OA于H，當(dāng)CD=PD時，根據(jù)AAS可得△COD≌△PHD，則PH=OC，即m=3；
③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

PH

BO

=

AH

AO

，求出AH=2m，則OH=8-2m，再根據(jù)三角形面積公式得出S_△BCP=28-7m，則S=S_△ABC-S_△BCP=7m；
（2）由于B是射線CO上的一個動點，所以根據(jù)B點的不同位置分兩種情況進(jìn)行討論：①點B運(yùn)動在y軸的正半軸上；②點B運(yùn)動在OC上．又動點P在直線AB上，直線AB總有經(jīng)過第二、四象限，所以在每一種情況下，P點所在的位置又有三種可能的情況：①點P分別在第一、二、四象限；②點P分別在第二、三、四象限．

解答：解：（1）①當(dāng)t=7時，CB=7，
∵OC=3，
∴OB=CB-OC=7-3=4，
∴OA=2OB=8，
∴A點坐標(biāo)為（8，0），B點坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

8k+b=0 b=4

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+4；

②如圖，過P作PH⊥OA于H．
在△COD與△PHD中，

∠COD=∠PHD=90° ∠ODC=∠HDP CD=PD

，
∴△COD≌△PHD，
∴CO=PH，
∴m=3；

③∵PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴

PH

BO

=

AH

AO

，

m

4

=

AH

8

，
∴AH=2m，OH=8-2m，
∴S_△BCP=

1

2

×7×（8-2m）=28-7m，
∴S=S_△ABC-S_△BCP=28-（28-7m）=7m；

（2）①當(dāng)點B運(yùn)動在y軸的正半軸上時．
a、當(dāng)點P在第一象限時，如圖1，若四邊形OCAP是等腰梯形，則PA=OC=3．
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×

1

5

=

3 5

5

，即m₁=

3 5

5

．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=

5

OB，即t=

5

（t-3），
∴t₁=

3 5

5 -1

=

15+3 5

4

；
b、當(dāng)點P在第二象限時，如圖2，四邊形AOPC為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
c、當(dāng)點P在第四象限時，如圖3，四邊形AOPC中有一個角為直角，不可能為等腰梯形；
②當(dāng)點B運(yùn)動在OC上時．
a、當(dāng)點P在第二象限時，如圖4，四邊形OACP為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
b、當(dāng)點P在第三象限時，如圖5，四邊形OACP為凹四邊形，不可能為等腰梯形；
c、當(dāng)點P在第四象限時，如圖6，若四邊形OACP為等腰梯形，則AP=OC=3，
∵∠AHP=90°，OA=2OB，
∴PH=PA•sin∠PAH=3×

1

5

=

3 5

5

，即m₂=-

3 5

5

．
∵∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC=t．
在Rt△AOB中，AB=

5

OB，即t=

5

（3-t），
∴t₂=

3 5

5 +1

=

15-3 5

4

．
綜上所述，滿足要求的m、t的值分別為

m1= 3 5 5 t1= 15+3 5 4

或

m2=- 3 5 5 t2= 15-3 5 4

．

點評：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等腰梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．