Question

正方形邊長(zhǎng)為4，、分別是、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持和垂直，設(shè)MB=x

（1）證明：；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，

求此時(shí)的值．

 

Answer 1

（1）證明過程見解析，（2）M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似，x=2

解析:（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠C=90°，

又∵AM⊥MN，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMB+∠NMC=90°，

而∠AMB+∠BAM=90°，

∴∠BAM=∠NMC，

∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，

（2）M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似

∵△ABM∽△AMN，

∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，

AM=，

MN= =

：=

∴4：x= ： ，

（4-x）²（16+x²）=x²（16+x²），

16-8x=0，

解得x=2．即M運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)相似