Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，△APQ的周長為2，求∠PCQ．
為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如圖）
（1）△CBE可以看成由△CDQ怎樣運動變化得到的？
（2）圖中PQ與PE的長度有什么關(guān)系？為什么？
（3）請用（2）的結(jié)論證明△PCQ≌△PCE；
（4）根據(jù)以上三個問題的啟發(fā)，求∠PCQ的度數(shù)．
（5）對于題目中的點Q，若Q恰好是AD的中點，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋轉(zhuǎn)得到的；
（2）由旋轉(zhuǎn)可知△CEB≌△CDQ，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到DQ=BE，由正方形的變成為1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周長為2，可求出PQ=PE；
（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一對對應(yīng)邊相等，再由CP為公共邊，根據(jù)SSS判定△PCQ≌△PCE；
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度數(shù)是∠DCB度數(shù)的一半，由∠DCB為直角即可求出∠PCQ的度數(shù)；
（5）由Q為AD的中點，根據(jù)正方形的邊長為1，求出DQ與AQ的長，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，從而求出BE的長，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，設(shè)PB為x，用PB+BE表示出PE即為PQ的長，且表示出AP的長，在直角三角形APQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BP的長．

解答：解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的；

（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的邊長為1，
∴AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ；

（3）∵△CBE≌△CDQ，
∴QC=EC，
在△PCQ和△PCE中，

PQ=PE CP=CP QC=EC

∴△PCQ≌△PCE（SSS）；

（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=

1

2

×90°=45°；

（5）若Q為AD中點，得到DQ=AQ=

1

2

AD=

1

2

，
∵△CBE≌△CDQ，∴BE=DQ=

1

2

，
設(shè)BP=x，則AP=1-x，
∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+

1

2

，
在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理得：PQ²=AQ²+AP²，
即（x+

1

2

）²=（

1

2

）²+（1-x）²，
化簡得：x²+x+

1

4

=

1

4

+1-2x+x²，即3x=1，解得x=

1

3

，
則BP的長為

1

3

．

點評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識．要求學生掌握圖形的三種變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱都只是改變圖形的位置，不改變形狀和大小，從而由旋轉(zhuǎn)得到△CBE≌△CDQ，是本題的突破點，第四問利用轉(zhuǎn)化的思想來求解，第五問在求BP長時，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想來求解．