Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于點D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=10，AD=2，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由半徑OA=OC，根據等邊對等角得到∠OCA=∠OAC，又根據三角形的內角和定理得到三角形AOC三個內角和等于180°，等量代換得∠AOC+2∠OCA=180°，在等式兩邊同時2，把∠ACD=∠AOC代入得到∠ACD與∠OCA相加為90°，可得∠DCO為90°，又OC為半徑，根據切線的性質可得CD為圓O的切線；
（2）過A作AE垂直于OC，交OC于點E，再由（1）得到DC與CO垂直，且AD垂直于CD，根據垂直定義得到四邊形ADCE三個角為直角，可得此四邊形為矩形，根據矩形的對邊相等可得AD=CE，由AD的長得到CE的長，再由直徑AB的長求出半徑OA的長，在直角三角形AOE中，由OA及OE的長，利用勾股定理求出AE的長，由AE及CE的長，利用勾股定理即可求出AC的長．
解答：解：（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，
∴∠AOC+2∠OCA=180°，
∴∠AOC+∠OCA=90°，
∵∠ACD=∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，
又∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線； …（3分）


（2）過點A作AE⊥OC，垂足為E，可得∠AEC=90°，
由（1）得∠DCO=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴四邊形DCEA是矩形，又AD=2，
∴CE=AD=2，…（4分）
∵AB是直徑，且AB=10，
∴OA=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，
根據勾股定理得：AE==4，…（5分）
∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，
根據勾股定理得：AC==2．…（6分）
點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，以及切線的判定與性質，利用了轉化的思想，證明切線的方法有兩種：有點連接圓心與此點，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段長等于圓的半徑．