Question

19．拋物線y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$與x軸交于A（-1，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是線段DH上任意一點(diǎn)，連接GB，點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)D出發(fā)，先沿拋物線的對(duì)稱軸到達(dá)點(diǎn)G，再沿GB到達(dá)點(diǎn)B，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的運(yùn)動(dòng)速度是5v，它在直線GB上運(yùn)動(dòng)的速度為3v，試確定點(diǎn)G的位置，使得點(diǎn)P按照上述方法到達(dá)B所用時(shí)間最短．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得m的值，可求得拋物線解析式；
（2）由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱可知QA+QC=QB+QC，可知當(dāng)B、Q、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)滿足條件，由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)；
（3）如圖2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），則BG′=$\frac{15}{4}$，連接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．由題意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），由△BHG′∽△DMG′，推出$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，推出MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理證明NG=$\frac{3}{5}$DG，所以欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，由此即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$得0=-1-2m-3+5m+$\frac{5}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）存在．
理由：如圖1中，由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱可知QA+QC=QB+QC，可知當(dāng)B、Q、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)滿足條件，

對(duì)于拋物線y=-x²+4x+5，令y=0得到x=-1或5，令x=0得到y(tǒng)=5，
∵A（-1，0），
∴B（5，0），C（0，5），
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴Q（2，3）．

（3）如圖2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），則BG′=$\frac{15}{4}$，連接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．

由題意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），
∵△BHG′∽△DMG′，
∴$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，
∴MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理證明NG=$\frac{3}{5}$DG，
∴欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，
此時(shí)G（2，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的點(diǎn)評(píng)和性質(zhì)、最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最小值問題，學(xué)會(huì)構(gòu)造相似三角形，利用垂線段最短，解決最短問題，屬于中考�？碱}型．