Question

如圖，直線AD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-1，與拋物線交于點A（在x軸上）、點D，拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，-3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）若點F是拋物線的頂點，點G是直線AD與拋物線對稱軸的交點，在線段AD上是否存在一點P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；
（4）點H拋物線上的動點，在x軸上是否存在點Q，使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）先根據(jù)直線解析式求出點A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式計算即可得解；
（2）根據(jù)直線解析式表示出點P的坐標(biāo)，利用拋物線解析式表示出點E的坐標(biāo)，再用點P的縱坐標(biāo)減去點E的縱坐標(biāo)，整理即可得到PE的表達式，再聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式求出點D的坐標(biāo)，得到點P的橫坐標(biāo)的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）把拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，然后求出點F的坐標(biāo)，并利用對稱軸根據(jù)點P在直線上求出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等列式解方程即可判斷并求出點P的坐標(biāo)；
（4）①當(dāng)點H在x軸下方時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，可得點H的縱坐標(biāo)與點D的縱坐標(biāo)相等，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標(biāo)，再求出HD的長度，然后分點Q在點A的左邊與右邊兩種情況求出點Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)點H在x軸上方時，AQ只能是平行四邊形的對角線，根據(jù)點D的坐標(biāo)得到點H的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)點H的橫坐標(biāo)表示的點到點Q的距離等于點D的橫坐標(biāo)表示的點到點A的距離相等求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則-x-1=0，
解得x=-1，
所以，點A的坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵B（3，0），C（0，-3）在拋物線上，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
所以，拋物線解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，
∴設(shè)點P（x，-x-1），則點E的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
PE=（-x-1）-（x²-2x-3），
=-x-1-x²+2x+3，
=-x²+x+2，
=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
聯(lián)立

y=-x-1 y=x2-2x-3

，
解得

x1=-1 y1=0

，

x2=2 y2=-3

，
所以，點D的坐標(biāo)為（2，-3），
∵P是線段AD上的一個動點，
∴-1＜x＜2，
∴當(dāng)x=

1

2

時，PE有最大值，最大值為

9

4

；

（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點F的坐標(biāo)為（1，-4），點G的橫坐標(biāo)為1，
y=-1-1=-2，
∴點G的坐標(biāo)為（-1，-2），
∴GF=-2-（-4）=-2+4=2，
∵四邊形GFEP為平行四邊形，
∴PE=GF，
∴-x²+x+2=2，
解得x₁=0，x₂=1（舍去），
此時，y=-1，
∴點P的坐標(biāo)為（0，-1），
故，存在點P（0，-1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在．理由如下：
①當(dāng)點H在x軸下方時，∵點Q在x軸上，
∴HD∥AQ，
∴點H的縱坐標(biāo)與點D相同，是-3，
此時，x²-2x-3=-3，
整理得，x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2（舍去），
∴HD=2-0=2，
∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），
-1-2=-3，-1+2=1，
∴點Q的坐標(biāo)為（-3，0）或（1，0）；
②當(dāng)點H在x軸上方時，根據(jù)平行四邊形的對稱性，點H到AQ的距離等于點D到AQ的距離，
∵點D的縱坐標(biāo)為-3，
∴點H的縱坐標(biāo)為3，
∴x²-2x-3=3，
整理得，x²-2x-6=0，
解得x₁=1-

7

，x₂=1+

7

，
∵點A的橫坐標(biāo)為-1，點D的橫坐標(biāo)為2，
2-（-1）=2+1=3，
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，1-

7

+3=4-

7

，1+

7

+3=4+

7

，
∴點Q的坐標(biāo)為（4-

7

，0）或（4+

7

，0），
綜上所述，存在點Q（-3，0）或（1，0）或（4-

7

，0）或（4+

7

，0），使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的最值問題，以及平行四邊形的性質(zhì)，（4）要注意根據(jù)點H的位置的不同分情況討論．