Question

如圖1，P（m，n）是拋物線y=

1

4

x²-1上任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，-2）且與x軸平行的直線，過點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．
【特例探究】
（1）填空，當(dāng)m=0時(shí)，OP=

 

，PH=

 

；當(dāng)m=4時(shí)，OP=

 

，PH=

 

．
【猜想驗(yàn)證】
（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，如果圖1中的拋物線y=

1

4

x²-1變成y=x²-4x+3，直線l變成y=m（m＜-1）．已知拋物線y=x²-4x+3的頂點(diǎn)為M，交x軸于A、B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），N是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線y=m（m＜-1）與對(duì)稱軸于點(diǎn)C，若對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離．
①用含m的代數(shù)式表示MC、MN及GN的長(zhǎng)，并寫出相應(yīng)的解答過程；
②求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得OP的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得可得PH的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得PO的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得PH的長(zhǎng)；
（3）①根據(jù)該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得CM=MN，根據(jù)線段的和差，可得GN的長(zhǎng)；
②對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)線段的和差，可得GN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，P（0，-1），OP=1，PH=-1-（-2）=1；
當(dāng)m=4時(shí)，y=3，P（4，3），OP=

42+32

=5，PH=3-（-2）=3+2=5，
故答案為：1，1，5，5；
（2）猜想：OP=PH，
證明：PH交x軸與點(diǎn)Q，
∵P在y=

1

4

x²-1上，
∴設(shè)P（m，

1

4

m²-1），PQ=|

1

4

x²-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

( 1 4 m2-1)2+m2

=

( 1 4 m2+1)2

=

1

4

m²+1，
PH=y_p-（-2）=（

1

4

m²-1）-（-2）=

1

4

m²+1
OP=PH．
（3）①CM=MN=-m-1，GN=2+m，
理由如下：對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，
M（2，-1），即CM=MN=-m-1．
GN=CG-CM-MN=-m-2（-m-1）=2+m．
②點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），BG=1，GN=2+m．
由勾股定理，得BN=

BG2+GN2

=

12+(2+m)2

，
對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，得
即1+（2+m）²=（-m）²．
解得m=-

5

4

．
由GN=2+m=2-

5

4

=

3

4

，即N（2，-

3

4

），
∴m=-

5

4

，N點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，利用的知識(shí)點(diǎn)較多，題目稍有難度．