Question

【題目】已知拋物線L：y＝x2+bx+c經過點M（2，﹣3），與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線L的表達式；

（2）試判斷拋物線L與x軸交點的情況；

（3）平移該拋物線，設平移后的拋物線為L′，拋物線L′的頂點記為P，它的對稱軸與x軸交于點Q，已知點N（2，﹣8），怎樣平移才能使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）拋物線L與x軸有兩個不同的交點；（3）將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移1個單位，可得到符合條件的拋物線L

【解析】

（1）將M、C兩點的坐標代入y=-x2+bx+c，根據待定系數法即可解答；

（2）利用一元二次方程的根的判別式即可解答；

（3）先確定M（2，-3）、N（2，-8），則當PQ=MN=5時，四邊形MNPQ為平行四邊形．設點Q（m，0），則P點的坐標為（m，-5），根據菱形的性質得到PN=MN=5，故（m-2）2+（-5+8）2=52，即點P的坐標為（6，-5）或（-2，-5），最后就兩個頂點分別根據平移規(guī)律解答即可．

解：（1）拋物線L：y＝x2+bx+c經過點M（2，﹣3），點C（0，﹣3）．

代入得，

解得，

∴拋物線L的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，則△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，

∴拋物線L與x軸有兩個不同的交點；

（3）由題意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），

∴MN∥y軸，MN＝5，

∵PQ∥MN∥y軸，

∴當PQ＝MN＝5時，四邊形MNPQ為平行四邊形．

設點Q（m，0），則P點的坐標為（m，﹣5），

要使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為菱形，

只需PN＝MN＝5，

∴（m﹣2）2+（﹣5+8）2＝52，

解得m1＝6，m2＝﹣2，

∴點P的坐標為（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）．

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線L的頂點坐標為（1，﹣4），

∴①當點P的坐標為（6，﹣5）時，6﹣5＝1，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴將原拋物線先向右平移5個單位，再向下平移1個單位，可得到符合條件的拋物線L′；

②當點P的坐標為（﹣2，﹣5）時，﹣2﹣1＝﹣3，﹣5﹣（﹣4）＝﹣1，

∴將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移1個單位，可得到符合條件的拋物線L″．