Question

如圖，已知二次函數(shù)（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)用m表示）；

（2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，求二次函數(shù)的解析式；

（3）設(shè)以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵，∴當(dāng)y=0時(shí)，。

解得x₁=﹣m，x₂=3m。

∵m＞0，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（﹣m，0），（3m，0）。

（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，

∴，圓的半徑為AB=2m。

∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。

∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，﹣2m）。

∵二次函數(shù)（m＞0）的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，﹣4m²），

∴﹣2m=﹣4m²，解得m₁=，m₂=0（舍去）。

∴二次函數(shù)的解析式為，即。

（3）如圖，連接CM，

在Rt△OCM中，

∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，

∴。

∴CD=2OC=。

【解析】（1）解關(guān)于x的一元二次方程，求出x的值，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，A、B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及圓的半徑處處相等可知PM是AB的垂直平分線，且MP=MA=MB=AB，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣2m），又根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為（m＞0），得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，﹣4m²），則﹣2m=﹣4m²，解方程求出m的值，再把m的值代入，即可求出二次函數(shù)的解析式。

（3）連接CM．根據(jù)（2）中的結(jié)論，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的長(zhǎng)度，利用勾股定理列式求出OC的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理得出弦CD的長(zhǎng)等于OC的2倍�！�