Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點P、Q同時從點A出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿ABCD的方向運動，點Q以每秒1個單位的速度沿ADC的方向運動，當P、Q兩點相遇時，它們同時停止運動，設P、Q兩點運動的時間為x（秒），△APQ的面積為S（平方單位）．
（1）點P、Q從出發(fā)到相遇所用的時間是______秒；
（2）求S與x之間的函數(shù)關系式；
（3）當S=時，求x的值．

Answer 1

解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．
故答案為：4．

（2）如圖1，當0≤x≤2時，S=AP=•x•2x=x²．
如圖2，當2＜x≤3時，
由長方形ABCD的面積-S_△ADQ-S_△QCP-S_△ABP=S_△QAP
=4×2-×2×（x-2）-×4×（2x-4）-×（6-x）×（6-2x）
=-x²+4x．
如圖3，當3＜x≤4時，S=×AD×QP=×2×（12-3x）=12-3x．

（3）當0≤x≤2時，x²=，解得：x=±，
故x=．
當2＜x≤3時，-x²+4x=，解得：x=2±，故x=2+．
當3＜x≤4時，12-3x=，解得：x=（小于3，舍去），故此時不存在．
分析：（1）當兩點相遇時，所行駛的路程為4×2+2×2=12，再利用路程÷速度=時間，進行計算即可；
（2）當0≤x≤2時，P點在AB上，Q點在AD上，根據(jù)三角形面積進行計算即可；
當2＜x≤3時，P點在CB上，PB=2x-4，CP=6-x，Q點在CD上，DQ=x-2，QC=6-2x，用長方形ABCD的面積-三角形ADQ的面積-三角形QCP的面積-三角形ABP的面積可得三角形QAP的面積；當3＜x≤4時，則QP=4-DQ-CP=12-3x，再利用三角形面積進行計算即可；
（3）把S=代入（2）中的解析式即可求出x的值．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)，三角形的面積計算，以及一元二次方程的計算，關鍵是根據(jù)x的取值范圍表示出S與x之間的函數(shù)關系式．