【答案】
分析:(1)先根據(jù)B(
),可知BC=OA=OP=1,OC=
.設(shè)P(x,2x-1),過P作PH⊥x軸于H.利用x分別表示出PH、OH、又OP=1,根據(jù)勾股定理即可解答;
(2)連接PB,PC.①若PB=PC,設(shè)P(x,
),過P作PH⊥x軸于H.
在Rt△OPH中根據(jù)勾股定理解得x,從而確定P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出解析式.
②若BP=BC,則BP=1,連接OB.在Rt△OBC中根據(jù)勾股定理求出OB,從而得出P為線段OB中點(diǎn),求出P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求解析式.
③若CP=CB,則CP=1,PO=PC,則P在OC中垂線x=
上.設(shè)P(
,y).過P作PH⊥x軸于H.在Rt△OPH中根據(jù)勾股定理求出P點(diǎn)坐標(biāo),從而確定解析式.
(3)根據(jù)求最小值的解法,找對稱點(diǎn),構(gòu)建直角三角形,利用勾股定理解答即可.
解答:解:(1)∵B(
)
∴BC=OA=OP=1,OC=
.
∵點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上
∴設(shè)P(x,2x-1)
如圖,過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中,PH=2x-1,OH=x,OP=1
∴x
2+(2x-1)
2=1
解得:x
1=
,x
2=0(不合題意,舍去)
∴P(
,
)(2分)
(2)連接PB,PC
①若PB=PC,則P在BC中垂線y=
上
∴設(shè)P(x,
),如圖,過P作PH⊥x軸于H
在Rt△OPH中,PH=
,OH=x,OP=1
∴x
2+
=1
解得:x
1=
,x
2=-
(不合題意,舍去)
∴P(
,
)
∴
=a×
,
得a=
∴y=
x
2(2分)
②若BP=BC,則BP=1,連接OB
∵OP=1
∴OP+PB=2
∵在Rt△OBC中,∠OCB=90°,OB=
=2
∴OP+PB=OB
∴O,P,B三點(diǎn)共線,P為線段OB中點(diǎn).
又∵B(
,1)
∴P(
,
)
∴
=a×
,
解得:a=
∴y=
x
2③若CP=CB,則CP=1
∵OP=1
∴PO=PC,則P在OC中垂線x=
上
∴設(shè)P(
,y).
過P作PH⊥x軸于H,在Rt△OPH中,PH=|y|,OH=
,OP=1
∴y
2+
=1
解得:y
1=
,y
2=-
∴P(
,
)或(
,-
)
當(dāng)點(diǎn)P(
,-
)時(shí),∠AOP=120°,此時(shí)∠AOD=60°,點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,符合題意.
若點(diǎn)P(
,
),則
=a×
,解得:a=
.∴y=
x
2若點(diǎn)P(
,-
),則-
=a×
,解得:a=-
∴y=-
x
2(2分)
(3)如圖,∵△OAD沿OD翻折,點(diǎn)A落在點(diǎn)P處
∴OD垂直平分AP
∵PC⊥OD
∴A,P,C三點(diǎn)共線.
在Rt△AOD中,∠OAD=90°,OA=1
又可得:∠AOD=30°
∴AD=AO•tan30°=
,
∴D(
,1)
作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B′,過點(diǎn)B′作B′N⊥AB于點(diǎn)N,連接DB′,DB′與AC交點(diǎn)為M,此點(diǎn)為所求點(diǎn).
∵∠ACB′=∠ACB=60°,∠ACO=30°
∴∠B′CO=30°
∵B′C=BC=1
∴B′(
,-
),
∴N(
,1)
在Rt△B′ND中,∠B′ND=90°,B′N=
,DN=AN-AD=
-
=
∴DB′=
=
∴DM+BM的最小值為
.(2分)
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和軸對稱中的最小值問題,函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義,等腰三角形的性質(zhì)等.要熟練掌握才能靈活運(yùn)用.