Question

如圖，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分線，BE平分∠ABD交AD于點(diǎn)E，連接CE．則下列結(jié)論：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S_△ABE=S_△CBE，其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A=30°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE=∠CBE=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=AE，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BE=2DE，根據(jù)線段垂直平分線上的定義可得BD=CD，然后表示出S_△ABE和S_△CBE，即可得解．

解答：解：∵∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分線，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴BE=AE，故①正確；
根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊，AE=BE＞BD，故②錯(cuò)誤；
在Rt△BDE中，∵∠CBE=30°，
∴BE=2DE，
∴AE=2DE，故③正確，
∵DA是BC的垂直平分線，
∴S_△CBE=

1

2

BC•DE=

1

2

×2BD•DE=BD•DE，
又∵S_△ABE=

1

2

AE•BD=

1

2

×2DE•BD=BD•DE，
∴S_△ABE=S_△CBE，故④正確，
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．