Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過點A（1，0），點B（-3，0），并且當兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₁交于點K，如圖所示．
（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）當直線l₂繞點C旋轉(zhuǎn)時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用△BOC∽△COA，得出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）可求得直線l₁的解析式為y=-

3

x+

3

，直線l₂的解析式為y=

3

3

x+

3

，進而得出D，E，F(xiàn)點的坐標即可得出，三條線段數(shù)量關(guān)系；
（3）利用等邊三角形的判定方法得出△ABK為正三角形，以及易知△KDC為等腰三角形，進而得出△MCK為等腰三角形時M點坐標．

解答：解：（1）解法1：∵l₁⊥l₂，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，又∠COA=∠BOC=90°
∴△BOC∽△COA，
∴

CO

BO

=

AO

CO

，
即

CO

3

=

1

CO

，
∴CO=

3

，
∴點C的坐標是（0，

3

），
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+

3

，
把A（1，0），B（-3，0）的坐標分別代入y=ax2+bx+

3

，
得

a+b+ 3 =0 9a-3b+ 3 =0

，
解這個方程組，得

a=- 3 3 b=- 2 3 3

，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

．

解法2：由勾股定理，得（OC²+OB²）+（OC²+OA²）=BC²+AC²=AB²，
又∵OB=3，OA=1，AB=4，
∴OC=

3

，
∴點C的坐標是（0，

3

），
由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x-1）（x+3），把C（0，

3

）代入
函數(shù)解析式得a=-

3

3

，
所以，拋物線的函數(shù)解析式為y=-

3

3

(x-1)(x+3)=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

；

（2）解法1：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF．
理由如下：
設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，把A（1，0），C（0，

3

），代入解析式，
解得k=-

3

，b=

3

，
所以直線l₁的解析式為y=-

3

x+

3

，
同理可得直線l₂的解析式為y=

3

3

x+

3

，
拋物線的對稱軸為直線x=-1，
由此可求得點K的坐標為（-1，2

3

），
點D的坐標為（-1，

4 3

3

），點E的坐標為（-1，

2 3

3

），點F的坐標為（-1，0），
∴KD=

2 3

3

，DE=

2 3

3

，EF=

2 3

3

，
∴KD=DE=EF．

解法2：截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF，
理由如下：
由題意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
則可得EF=BF×tan30°=

2 3

3

，KF=AF×tan60°=2

3

，
由頂點D坐標（-1，

4 3

3

）得DF=

4 3

3

，
∴KD=DE=EF=

2 3

3

；

（3）當點M的坐標分別為（-2，

3

），（-1，

4 3

3

）時，△MCK為等腰三角形．
理由如下：
（i）連接BK，交拋物線于點G，
∵F（-1，0），直線l₁的解析式為y=-

3

x+

3

，
∴K（-1，2

3

），
∵B（-3，0），
∴直線BK的解析式為：y=

3

x+3

3

①，
∵拋物線的函數(shù)解析式為y═-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

②；
①②聯(lián)立即可求出點G的坐標為（-2，

3

），
又∵點C的坐標為（0，

3

），則GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，
∴△CGK為正三角形
∴當l₂與拋物線交于點G，即l₂∥AB時，符合題意，此時點M₁的坐標為（-2，

3

），
（ii）連接CD，由KD=

2 3

3

，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，
∴當l₂過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M₂坐標為（-1，

4 3

3

），
（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，
但點A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，
綜上所述，當點M的坐標分別為（-2，

3

），（-1，

4 3

3

）時，△MCK為等腰三角形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點，同學們應(yīng)重點掌握．