Question

已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=CD=4，且∠B=60°，M是CD上一動點，作MN⊥CD，交BC于N，將∠C沿MN翻折，使點C落在射線CD上的點E處，當△ANE為等腰三角形時，CM的長為

 

．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),等腰三角形的判定,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：利用等腰梯形的性質(zhì)以及勾股定理得出AN²=AG²+GN²=12+（4-2x）²，AE²=AH²+EH²=3+（5-2x）²，進而利用①令A(yù)N=NE時；②令A(yù)E=NE；③令A(yù)N=AE分別求出即可．

解答：解：過A作AG⊥BC，交BC于G，過A點作AH⊥CD，交CD的延長線于H．設(shè)MC=x
∵∠B=60°，四邊形ABCD為等腰梯形，
∴∠C=60°，NC=NE=2x
BG=

1

2

AB=2，AG=

AB2-BF2

=2

3

，BC=6，
GN=4-2x，
AN²=AG²+GN²=12+（4-2x）²
∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠C=60°
DH=

1

2

AD=1，AH=

3

，HE=5-2x，AE²=AH²+EH²=3+（5-2x）²
①令A(yù)N=NE時 12+（4-2x）²=（2x）²
解得：x=

7

4

；
②令A(yù)E=NE，
則3+（5-2x）²=（2x）²
解得：x=

7

5

；
 ③令A(yù)N=AE
則 12+（4-2x）²=3+（5-2x）²
解得x=0（不合題意）
故當三角形ANE為等腰三角形時，CM的長為

7

4

或

7

5

．
故答案為：

7

4

或

7

5

．

點評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．