Question

4．如圖，點A、B、C在同一直線上，△ABD、△BCE均為正三角形，連接AE、CD交于點M，AE交BD于點P，CD交BE于點Q，連接PQ、BM，則下列說法：
①△ABE≌△DBC，
②DC=AE，
③△PBQ為正三角形，
④PQ∥AC，
請將所有正確選項的序號填在橫線上①②③④．

Answer 1

分析 ①由等邊三角形的性質得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；
②由△ABE≌△DBC，即可得到DC=AE；
③由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對應邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；
④推出△BPQ是等邊三角形，得到∠PBQ=60°，根據平行線的性質即可得到PQ∥AC．

解答 解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，
∴②正確；
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③正確；
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴∠PQB=60°，
∴∠PQB=∠QBC，
∴PQ∥AC，
故④正確．
故答案為①②③④．

點評 此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，平行線的判定和性質，此題圖形比較復雜，解題的關鍵是仔細識圖，找準全等的三角形．