Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm．在Rt△DEF中，∠DFE=90°，EF=6cm，DF=8cm．E，F(xiàn)兩點(diǎn)在BC邊上，DE，DF兩邊分別與AB邊交于G，H兩點(diǎn)．現(xiàn)固定△ABC不動(dòng)，△DEF從點(diǎn)F與點(diǎn)B重合的位置出發(fā)，沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，在折線FD-DE上以2cm/s的速度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．△DEF與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，△DEF和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（單位：s），t＞0．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，PH=______cm，DG=______cm；
（2）t為多少秒時(shí)△PDE為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）t為多少秒時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合？寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t=2，得到BF=2，PF=4，根據(jù)BF：BC=HF：AC，即可求出HF，從而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽R(shí)t△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根據(jù)題意得到PD=PE，則BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t=．
（3）設(shè)當(dāng)△DEF和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，此時(shí)點(diǎn)P一定在DE邊上，DP=DG．根據(jù)正切的定義得到tanB=tanD=，則FH=t，DH=8-t，得到DG=-t+，而DP+DF=2t，于是有2t-8=-t+，即可解得t的值；
（4）分類討論：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)，tan∠PBF==2；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在DE邊上運(yùn)動(dòng)，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF==．
解答：解：（1）當(dāng)t=2，得到BF=2，PF=4，根據(jù)BF：BC=HF：AC，即可求出HF，從而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽R(shí)t△BAC，可求出EG，得到DG由題意即：PH=，DG=；

（2）只有點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
△PDE才能成為等腰三角形，且PD=PE．（如圖1）
∵BF=t，PF=2t，DF=8，
∴PD=DF-PF=8-2t．
在Rt△PEF中，PE²=PF²+EF²=4t²+36=PD²．即4t²+36=（8-2t）²．
解得．
∴t為時(shí)△PDE為等腰三角形；

（3）設(shè)當(dāng)△DEF和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，
此時(shí)點(diǎn)P一定在DE邊上，DP=DG．
由已知可得tanB===，tanD==，
∴∠B=∠D，
又∵∠D+∠DEB=90°，
∴∠B+∠DEB=90°，
∴∠DGH=∠BFH=90°．
∴FH=BF•tanB=t，DH=DF-FH=8-t，DG=DH•cosD=（8-t）•=-t+，
∵DP+DF=2t，
∴DP=2t-8．
由DP=DG得，2t-8=-t+，解得t=，
∵4＜＜6，則此時(shí)點(diǎn)P在DE邊上．
∴t的值為時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合．

（4）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)（如圖1），tan∠PBF==2．
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在DE邊上運(yùn)動(dòng)（如圖2），作PS⊥BC于S，則tan∠PBF=；
可得PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．
此時(shí)PS=PE•cos∠EPS=PE•cosD=•（18-2t）=-t+，ES=PE•sin∠EPS=PE•sinD=•（18-2t）=-t+，
∴BS=BF+EF-ES=t+6-（-t+）=t-，
∴tan∠PBF==，
綜上所述，
tan∠PBF=．
（以上時(shí)間單位均為s，線段長(zhǎng)度單位均為cm）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正切值等于這個(gè)角的對(duì)邊與鄰邊的比；也考查了分類討論思想的運(yùn)用以及勾股定理．