Question

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，1），過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點P是x軸正半軸上的一動點，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，
設OP的長度為m．
①當點P在線段OC上（不與點O、C重合）時，試用含m的代數式表示線段PM的長度；
②聯結CM，BN，當m為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點A（0，1），B，
∴，
解得：，
∴y=-x²+x+1；

（2）①設直線的解析式是y=kx+b，
∵直線AB過點A（0，1）和B，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
∵PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，m+1），
∴PM=m+1；
②根據拋物線的解析式和P點的坐標可得：N（m，-m²+m+1），MN∥BC，
∴當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，
1、當點P在線段OC上時，MN=-m²+m，
又∵BC=，
∴-m²+m=，
解得m₁=1，m₂=2；
2、當點P在線段OC的延長線上時，MN=m²-m，
∴m²-m=，
解得：m₁=（不合題意，舍去），m₂=；
綜上所述，當m的值為1或2或時，四邊形BCMN是平行四邊形．
分析：（1）根據拋物線過點A（0，1），B，求出c，b的值，即可求出拋物線的解析式；
（2）①先設直線的解析式是y=kx+b，根據直線AB過點A（0，1）和B，求出b，k的值，求出直線AB的解析式，再根據PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，OP=m，
得出P（m，0），M（m，m+1），即可求出PM的長度；
②根據拋物線的解析式和P點的坐標得出N（m，-m²+m+1），MN∥BC，再分兩種情況討論，當點P在線段OC上時，當點P在線段OC的延長線上時，求出MN的值，根據BC=，得出-m²+m=，求出m得值，即可得出答案．
點評：此題考查了二次函數的綜合，在解題時要注意解析式的確定，（2）小題②中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．