Question

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，且CE與AD相交于點F．
（1）求證：EF=DF；
（2）若AB=，BC=3，求折疊后的重疊部分的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，
∵矩形ABCD沿對角線AC對折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∴Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴EF=DF；

（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=3-x，
在Rt△CDF中，CF²=CD²+DF²，即x²=（）²+（3-x）²，解得x=2，
∴折疊后的重疊部分的面積=•AF•CD=×2×=．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易證Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）易得FC=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=3-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x²=（）²+（3-x）²，解方程求出x，然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．