Question

【題目】已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．

（1）求證：不論為何值，該二次函數(shù)的圖像與軸總有公共點．

（2）求證：不論為何值，該二次函數(shù)的圖像的頂點都在函數(shù)的圖像上．

（3）已知點、，線段與函數(shù)的圖像有公共點，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）計算判別式的值得到△≥0，從而根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；

（2）利用配方法得到二次函數(shù)y=x2-2mx+2m-1的頂點坐標為（m，-（m-1）2），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷；

（3）先計算出拋物線y=-（x-1）2與直線y=-1的交點的橫坐標，然后結(jié)合圖象得到a+2≥0且a≤2．

（1）令，則．

∵，，，

∴．

∵，

∴．

∴一元二次方程有實數(shù)根．

故不論取何值，函數(shù)與軸總有公共點．

（2）∵．

∴該函數(shù)的頂點坐標為．

把代入，得．

∴不論為何值，該二次函數(shù)的頂點坐標都在函數(shù)上．

（3）當y=-1時，y=-（x-1）2=-1，解得x1=0，x2=2，

當a+2≥0且a≤2時，線段AB與函數(shù)y=-（x-1）2的圖象有公共點，

所以a的范圍為-2≤a≤2．

故答案為．