Question

為了美化校園環(huán)境，南開中學(xué)決定對后門的桃李湖進(jìn)行土建改造，在改造過程中，計劃購買并種植樹苗400株，并要求兩年后這400株樹苗對校園內(nèi)的空氣凈化指數(shù)不低于90．現(xiàn)可供選擇的樹苗有桃樹、李樹、柳樹三種，并且要求購買柳樹的棵樹y（株）與桃樹的棵樹x（株）存在如表關(guān)系：

桃樹x（株）	50	60	70	80	90
柳樹y（株）	300	280	260	240	220

某樹苗公司提供如下信息：

樹苗	樹苗批發(fā)的單價（元/株）	兩年后每棵樹對空氣的凈化指數(shù)
桃樹	300	0.4
李樹	200	0.1
柳樹	p	0.2

其中每棵柳樹的批發(fā)價格p（元）與株樹y（株）的關(guān)系可用右圖的圖象反映．
（1）直接寫出y與x及p與y的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時，才能使購買樹苗的總費用w（元）最低？最低的總費用是多少元？
（3）若學(xué)校要求柳樹種植超過100株，則種植這400株樹苗需要的人工費m=3x²-560x+16800，每年每棵樹保養(yǎng)的費用預(yù)計50元，若購買、種植和保養(yǎng)這400株樹苗兩年預(yù)計共花費學(xué)校16萬元，且使校園內(nèi)空氣凈化指數(shù)最高，則需要購買桃樹多少株？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖表以及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求出y與x以及P與y之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)0≤y≤100時，當(dāng)y≥100時，設(shè)購買樹苗的總費用為W元，分別得出函數(shù)最值即可；
（3）根據(jù)購買樹苗的總費+人工費+保養(yǎng)費=160000，即可得出x的值，進(jìn)而得出需要購買桃樹的數(shù)量．

解答：解：（1）將（50，300），（60，280）代入y=kx+b得：

50k+b=300 60k+b=280

，
解得：

k=-2 b=400

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+400，
設(shè)p與y的函數(shù)關(guān)系式為：P=ay+c，

100a+c=450 120a+c=400

，
解得：

a=-2.5 c=700

，
∴p與y的函數(shù)關(guān)系式為：P=-2.5y+700，
∴p與y的函數(shù)關(guān)系式為：P=

450(0＜y≤100) -2.5y+700(y≥100)

；

（2）當(dāng)0≤y≤100時，由

-2x+400≥0 -2x+400≤100 0.4x+0.1(400-x-y)+0.2y≥90

，
解得：150≤x≤200，
w=300x+200（400-x-y）+450y=-400x+180000，
∵-400＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴x=200時，w_最小=100000．
當(dāng)y≥100時，由

-2x+400≥100 0.4x+0.1(400-x-y)+0.2y≥90

，
解得：100≤x≤150，
w=300x+200（400-x-y）+py
=500x+[-

1

2

（-2x+400）+500]（-2x+400）
=-2x²+300x+120000，
∵x=-

b

2a

=75且100≤x≤150時，w隨x增大而減小，
∴x=150時，w_最小=120000，
又∵10000＜120000，
∴x=200時，w最小=100000，
答：當(dāng)x=200時，購買樹苗的總費用最少，最少為100000元；

（3）由題意得出：（-2x²+300x+120000）+（3x²-560x+16800）+2×50×400=160000，
∴x²-260x+16800=0，
解得：x₁=120，x₂=140，
又∵使空氣凈化指數(shù)n=0.4x+0.1x+0.2（-2x+400）=0.1x+80最高，
∴x=140，
答：需要購買桃樹140株．

點評：此題主要考查了利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的模型解決實際問題的能力．要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再代數(shù)求值．解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實際意義準(zhǔn)確的列出解析式，再把對應(yīng)值代入求解．注意要根據(jù)自變量的實際范圍確定函數(shù)的最值．