Question

已知MN∥EF∥BC，點(diǎn)A、D為直線MN上的兩動(dòng)點(diǎn)，AD=a，BC=b．
（1）當(dāng)點(diǎn)A、D重合，即a=0時(shí)（如圖1），試求EF．（用含m，n，b的代數(shù)式表示）
（2）請(qǐng)直接應(yīng)用（1）的結(jié)論解決下面問題：當(dāng)A、D不重合，即a≠0，
①如圖2這種情況時(shí)，試求EF．（用含a，b，m，n的代數(shù)式表示）
②如圖3這種情況時(shí)，試猜想EF與a、b之間有何種數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
又BC=b，
∴，
∴EF=；

（2）①解：如圖2，連接BD，與EF交于點(diǎn)H，
由（1）知，HF=，EH=，
∵EF=EH+HF，
∴EF=；

②猜想：EF=，
證明：連接DE，并延長(zhǎng)DE交BC于G，
由已知得：BG=，
EF=，
∵GC=BC-BG，
∴EF=（BC-BG）=．
分析：（1）由EF∥BC，即可證得△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得，根據(jù)比例變形，即可求得EF的值；
（2）①連接BD，與EF交于點(diǎn)H，由（1）知，HF=，EH=，又由EF=EH+HF，即可求得EF的值；
②連接DE，并延長(zhǎng)DE交BC于G，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得BG的長(zhǎng)，又由EF=與GC=BC-BG，即可求得EF的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意比例變形．