Question

（2013•十堰模擬）如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1．點(diǎn)P（a、b）是雙曲線y=

1

2x

上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點(diǎn)E、F．
（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，用b的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計(jì)算過程）；
（2）△AOF與△BOE是否相似？若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線y=

1

2x

上移動時(shí)，∠EOF大小是否始終保持不變？若是，求∠EOF度數(shù)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求△OEF的面積，只要求出E、F坐標(biāo)即可．根據(jù)矩形性質(zhì)、直線AB解析式容易求出；
（2）根據(jù)題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應(yīng)成比例即可；
（3）應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根據(jù)題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點(diǎn)E的坐標(biāo)是（a，1-a），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1-b，b），

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2x

圖象上任意一點(diǎn)，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵對圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動時(shí)，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．

點(diǎn)評：此題難度中等，考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)判定．同學(xué)們只有熟練掌握這些知識點(diǎn)，才能正確的解答．