(2013•十堰模擬)如圖,直線AB與x軸、y軸分別交于點A和點B,且OA=OB=1.點P(a、b)是雙曲線y=
1
2x
上任意一點,過點P向x軸、y軸作垂線PM、PN,垂足是M、N,直線AB分別交PM、PN于點E、F.
(1)求點E、F的坐標(用a的代數(shù)式表示點E的坐標,用b的代數(shù)式表示點F的坐標,只須寫出結果,不要求寫出計算過程);
(2)△AOF與△BOE是否相似?若相似,請給出證明;若不相似,請說明理由.
(3)當點P在雙曲線y=
1
2x
上移動時,∠EOF大小是否始終保持不變?若是,求∠EOF度數(shù);若不是,請說明理由.
分析:(1)欲求△OEF的面積,只要求出E、F坐標即可.根據(jù)矩形性質、直線AB解析式容易求出;
(2)根據(jù)題意易知∠A=∠B,要證△AOF與△BOE相似,只證夾邊對應成比例即可;
(3)應用三角形內角和定理及內外角關系可求∠EOF=45°是一定值,即解.
解答:解:(1)根據(jù)題意,易知:直線AB的解析式為y=-x+1,
點E的坐標是(a,1-a),點F的坐標是(1-b,b),

(2)△AOF和△BEO一定相似.
∵如圖1,OA=OB=1,
∴∠OAF=∠EBO,
∴BE=BA-AE=
2
-
(1-a)2+(1-a)2
=
2
a,
AF=BA-BF=
2
-
(1-b)2+(1-b)2
=
2
b,
∵點P是函數(shù)y=
1
2x
圖象上任意一點,
∴b=
1
2a
,即2ab=1,
2
2
b=1即,AF•BE=OB•OA,
AF
OB
=
OA
BE
,
∴△AOF∽△BEO,
∵對圖2,圖3同理可證,
∴△AOF∽△BEO;

(3)當點P在曲線上移動時,在△OEF中,∠EOF一定等于45°,
由(2)知,△AOF∽△BEO,
∴∠AFO=∠BOE,
如圖1,在△BOF中,∠AFO=∠BOF+∠B,
而∠BOE=∠BOF+∠EOF,
∴∠EOF=∠B=45°,
對圖2,圖3同理可證,
∴∠EOF=45°.
點評:此題難度中等,考查反比例函數(shù)的圖象和性質及相似三角形性質判定.同學們只有熟練掌握這些知識點,才能正確的解答.
練習冊系列答案
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