Question

（2012•濰坊）如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BC于M，交BD于E，過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N，交BD于F，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求AB：AE的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AE=CF，所以對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）如圖，連接AC交BF于點(diǎn)0．由菱形的判定定理推知?ABCD是菱形，根據(jù)菱形的鄰邊相等知AB=BC；然后結(jié)合已知條件“M是BC的中點(diǎn)，AM丄BC”證得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），從而證得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求得CF：BC=tan∠CBF=

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，利用等量代換知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=

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．

解答：（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴BC∥AD（平行四邊形的對(duì)邊相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等），
∵在△ADE和△CBF中，

∠DAE=∠BCF=90° AD=CB ∠ADE=∠FBC

，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴四邊形AECF為平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

（2）如圖，連接AC交BF于點(diǎn)0，當(dāng)AECF為菱形時(shí)，
 則AC與EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四邊形的對(duì)角線相互平分），
∴AC與BD互相垂直平分，
∴?ABCD是菱形（對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形），
∴AB=BC（菱形的鄰邊相等）；
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，AM丄BC（已知），
∴AB=AC（等腰三角形的性質(zhì)），
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=

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，
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE=

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．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．證明（2）題時(shí)，證得?ABCD是菱形是解題的難點(diǎn)．