Question

已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．

②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請(qǐng)分別指出它們．另第①問(wèn)中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？
③若△ABC中，∠B的平分線(xiàn)與三角形外角∠ACD的平分線(xiàn)CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？

Answer 1

（1）有5個(gè)等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分線(xiàn)交于O點(diǎn)，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF．
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2個(gè)等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；
第一問(wèn)中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF．

（3）有，還是有2個(gè)等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE-CF，理由如下：
∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)）
又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線(xiàn)
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．