Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．

（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；

（2）求△AOB的面積；

（3）Q是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO 半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．

                       

                                                   備用圖

Answer 1

解：（1）點P在線段AB上，理由如下：

        ∵點O在⊙P上，且∠AOB＝90°∴AB是⊙P的直徑

∴點P在線段AB上．

（2）過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，

由題意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位線，

故S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×PP₂

     ∵P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的任意一點

∴S_△AOB＝OA×OB＝×2 PP₁×2PP₂＝2 PP₁×PP₂＝12．

（3）如圖，連接MN，則MN過點Q，且S_△MON＝S_△AOB＝12．

∴OA·OB＝OM·ON ∴

∵∠AON＝∠MOB  ∴△AON∽△MOB  ∴∠OAN＝∠OMB  ∴AN∥MB．