Question

如圖，邊長為4的正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)E是OA邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)O，A重合），EP⊥CE，且EP交正方形外角的平分線AP于點(diǎn)P．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)OA時(shí)，證明CE=EP；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是OA邊的中點(diǎn)時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是OA邊上的任意一點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O，A重合），設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為E（t，0）（0＜t＜4），探究CE=EP是否成立，若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PH垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)H，再由CO與OE垂直，利用垂直的定義得到一對直角相等，由CE與EP垂直，得到一個(gè)角為直角，利用平角的定義得到一對角互余，而直角三角形OCE中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形OCE與三角形PHE相似，由相似得比例，將各自的值代入得到關(guān)于HP的方程，求出方程的解得到HP的值，在直角三角形OCE與直角三角形EPH中，分別利用勾股定理求出CE與EP，即可判斷得到CE=EP；
（2）y軸上存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形，理由為：過B作BM平行于PE，由CE與EP垂直，利用和平行線中一條直線垂直，與另一條直線也垂直得到CE與BM垂直，利用同角的余角相等可得出∠OCE=∠CBM，再加上BC=CO，及一對直角相等，利用ASA可得出△BCM≌△COE，得出BM=CE，而EP=CE，可得出EP=BM，可得出四邊形BMEP為平行四邊形，由全等得到CM=OE=2，求出OM的長即可確定出M的坐標(biāo)；
（3）CE=EP，理由與（1）同理．
解答：
解：（1）證明：過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，則∠PHE=∠EOC=90°，
∵AP為∠BAH的平分線，
∴∠PAH=45°，
∴△APH為等腰直角三角形，
∴AH=HP，
∵EP⊥CE，∴∠CEP=90°，
∴∠CEO+∠HEP=90°，
又∵∠OCE+∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠HEP，
∴△COE∽△EHP，
∴=，
由題意知：OE=EA=2，EH=EA+AH=2+HP，
∴=，
∴HP=2，
∴EH=4，
在Rt△COE和Rt△EHP中，
CE==2，EP==2，
則CE=HP；
（2）y軸上存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形，
過點(diǎn)B作BM∥EP交y軸于點(diǎn)M，
∵EP⊥CE，
∴BM⊥CE，
∴∠OCE+∠CMB=90°，∠CBM+∠CMB=90°，
∴∠OCE=∠CBM，
在△BCM和△COE中，
∠OCE=∠CBM，BC=CO，∠BCM=∠COE=90°，
∴△BCM≌△COE，
∴BM=CE，又CE=EP，
∴BM=EP，
又BM∥EP，
∴四邊形BMEP是平行四邊形，
∵△BCM≌△COE，
∴CM=OE=2，
∴OM=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（0，2）；
（3）CE=EP，理由為：
證明：過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，則∠PHE=∠EOC=90°，AH=HP，
∵AP為∠BAH的平分線，
∴∠PAH=45°，
∴△APH為等腰直角三角形，
∴AH=HP，
∵EP⊥CE，
∴∠CEP=90°，
∴∠CEO+∠HEP=90°，
又∵∠OCE+∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠HEP，
∴△COE∽△EHP，
∴=，
由題意知：OE=t，EH=EA+AH=4-t+HP，
∴=，
∴4HP=t（4-t+HP），
∴（4-t）HP=（4-t）t，
∵點(diǎn)E不與點(diǎn)O，A重合，
∴4-t≠0，
∴HP=t，EH=4-t+HP=4，
在Rt△COE和Rt△EHP中，
CE==，EP==，
則CE=EP．
點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定，是一道探究型題．