Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O．有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G．

（1）求四邊形OEBF的面積；

（2）求證：OGBD=EF2；

（3）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）AE=．

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得S四邊形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD；

（2）易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得OGOB=OE2，再利用OB與BD的關系，OE與EF的關系，即可證得結論；

（3）首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得AE的長．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD

（2）證明：∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

∴△OEG∽△OBE，

∴OE：OB=OG：OE，

∴OGOB=OE2，

∵

∴OGBD=EF2；

（3）如圖，過點O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴

設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH

∵

∴當時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，