Question

（2013•廈門）如圖所示，在正方形ABCD中，點G是邊BC上任意一點，DE⊥AG，垂足為E，延長DE交AB于點F．在線段AG上取點H，使得AG=DE+HG，連接BH．求證：∠ABH=∠CDE．

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△ABG和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可AF=BG，AG=DF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AFD=∠BGA，然后求出EF=HG，再利用“邊角邊”證明△AEF和△BHG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，最后根據(jù)等角的余角相等證明即可．

解答：證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠2+∠EAD=90°，
又∵∠1+∠EAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABG和△DAF中，

∠1=∠2 AB=AD ∠ABG=∠DAF=90°

，
∴△ABG≌△DAF（ASA），
∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA，
∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，
∴EF=HG，
在△AEF和△BHG中，

AF=BG ∠AFD=∠BGA EF=HG

，
∴△AEF≌△BHG（SAS），
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，
∠3+∠ABH=∠ABC=90°，
∴∠ABH=∠CDE．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角或同角的余角相等的性質(zhì)，本題難點在于兩次證明三角形全等，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角可以更形象直觀．