Question

（2012•通州區(qū)一模）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，將△ABC以點(diǎn)B為中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°），得到△BDE，點(diǎn)B、A、E恰好在同一條直線上，連接CE．
（1）則四邊形DBCE是

梯

形（填寫：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）
（2）若AB=AC=1，BC=

3

，請(qǐng)你求出四邊形DBCE的面積．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證得∠DEB=∠ABC=α，即可得DE∥BC，又由DE=AC≠BC，可得四邊形DBCE是梯形；
（2）首先過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)，易求得BF的長(zhǎng)，然后由特殊角的三角函數(shù)值，可求得α的度數(shù)，∠DBH的度數(shù)，則可求得DH的長(zhǎng)，繼而求得四邊形DBCE的面積．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BED=∠ACB=α，DE=AC，
∴∠BED=∠ABC，
∴BC∥DE，
∵BC≠AC，
∴BC≠DE，
∴四邊形DBCE是梯形；
故答案為：梯；

（2）過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AB=AC=1，
∴BF=FC=

1

2

BC=

1

2

3

，
∴cosα=

3

2

，
∴∠ABC=30°，
∴∠DBC=60°，
∵將△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），得到△BDE，
∴△ABC≌△DBE，
∴BD=DE=1，
∴DH=BD•sin60°=

3

2

，
∴S_梯形DBCE=

1

2

(1+

3

)

3

2

=

3+ 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．