Question

如圖1，已知雙曲線y=

k

x

(k＞0)與直線y=k₁x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問題：
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為

 

；（用m、k表示）
（3）如圖2，過原點(diǎn)O作另一條直線y=k₂x（k₁≠k₂），交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，求證：四邊形APBQ一定是平行四邊形；
（4）如圖3，當(dāng)k=12，k₁=

3

4

，k2=

4

3

時(shí)，判定四邊形APBQ的形狀，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線和雙曲線的函數(shù)表達(dá)式，然后即可推出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到雙曲線，求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)（1）的結(jié)論分析，A、B兩邊的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可推出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)出A的坐標(biāo)，然后推出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，即可推出OA、OB的長度，同理即可推出OP=OQ，即可推出四邊形APBQ是平行四邊形；
（4）根據(jù)題意，推出直線AB、直線PQ、雙曲線的函數(shù)表達(dá)式，即可推出A、B、P、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理推出OA=OB=5，OP=OQ=5，推出AB=PQ=10，即可推出四邊形APBQ是矩形．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

(k＞0)與直線y=k₁x相交于A、B兩點(diǎn)，且A（4，2），
∴k=8，k₁=

1

2

，
∴y=

8

x

，y=

1

2

x，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-2）；

（2）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，雙曲線y=

k

x

(k＞0)過A點(diǎn)，
∴A（m，

k

m

），
∴B（-m，-

k

m

）；

（3）設(shè)A的坐標(biāo)（m，

k

m

），則B點(diǎn)的坐標(biāo)（-m，-

k

m

）
由勾股定理OA=

m2+(k′m)2

，
OB=

(-m)2+( -k m )2

=

m2+( k m )2

，
∴OA=OB（6分）
同理可得OP=OQ，（7分）
∴四邊形APBQ是平行四邊形；
（4）四邊形APBQ是矩形，理由：

y= 12 x y= 3 4 x

，解得

x=4 y=3

或

x=-4 y=-3

，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴A（4，3），B（-4，-3）

y= 12 x y= 4 3 x

，解得

x=3 y=4

或

x=-3 y=-4

，
∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（3，4），Q（-3，-4）
由勾股定理OA=OB=

32+42

=5，OP=OQ=

42+32

=5，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∵AB=PQ=10
∴四邊形APBQ是矩形．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查根據(jù)雙曲線與直線相交求交點(diǎn)的坐標(biāo)，平行四邊形的判定，矩形的判定，勾股定理，關(guān)鍵在于根據(jù)題意求出各交點(diǎn)的坐標(biāo)．