Question

如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點，且PA=3，PB=4，則PC的最大值是

 

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Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：過點B作BE⊥BP使點E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，連接AE、PE、PC，然后求出PE=

2

PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=PC，再根據(jù)兩點之間線段最短可知點A、P、E三點共線時AE最大，也就是PC最大．

解答：解：如圖，過點B作BE⊥BP，且BE=PB，連接AE、PE、PC，
則PE=

2

PB=4

2

，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，

AB=BC ∠ABE=∠CBP BE=PB

，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴AE=PC，
由兩點之間線段最短可知，點A、P、E三點共線時AE最大，
此時AE=AP+PE=3+4

2

，
所以，PC的最大值是3+4

2

．
故答案為：3+4

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能巧妙利用三角形全等的知識，構(gòu)造全等三角形，把求PC的長轉(zhuǎn)化成求AE的長．