Question

如圖①，是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角兩邊分別交邊于兩點(diǎn)，連接.
（1）探究：線段之間的關(guān)系，并加以證明。
（2）若點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其它條件不變，請(qǐng)你再探線段之間的關(guān)系，在圖②中畫出圖形，直接寫出結(jié)論.

Answer 1

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延長(zhǎng)AC至E，使得CE=BM（或延長(zhǎng)AB至E，使得BE=CN），并連接DE．

∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD與△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．
（2）按要求作出圖形，（1）中結(jié)論不成立，應(yīng)為MN=NC﹣BM．
在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN=60°，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

解析