Question

如圖，邊長是5的正方形ABCD內，半徑為2的⊙P與邊DC和AD相切，⊙Q與⊙P外切于點M，并且⊙Q與邊BC和AB相切，EF是兩圓的公切線，點E、F分別在AB和BC上，則EF的長等于

 

．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,正方形的性質

專題：壓軸題

分析：連接BD，根據切線的性質得出圓心P、Q在BD上，設⊙P與正方形的切點為H、G，⊙Q與正方形的切點為I、J，圓Q的半徑為r，利用切線長定理和勾股定理求出r=8-5

2

，則BM=

2

r+r=3

2

-2，再根據切線及正方形的性質，證明BM是等腰直角三角形斜邊上的中線，得出EF=2BM．

解答：解：連接BD，則圓心P、Q在BD上，設⊙P與正方形的切點為H、G，⊙Q與正方形的切點為I、J，圓Q的半徑為r．
∵⊙P分別與DA、DC邊相切，
∴PG⊥AD、PH⊥DC，
又∵PG=PH=2，∠ADC=90°，
∴四邊形GPHD為正方形，
∴DP=

2

PH=2

2

，
同理，BQ=

2

r．
∵AB=AD=5，
∴DB=5

2

．
∵DP+PQ+BQ=BD，
∴2

2

+（2+r）+

2

r=5

2

，
∴r=8-5

2

，
∴BM=

2

r+r=3

2

-2．
∵EF是兩圓的公切線，
∴EF⊥PQ，即EF⊥BD，
又∵∠MBE=∠MBF=45°，
∴∠MEB=∠MFB=45°，
∴BE=BF，
∴EF=2BM=6

2

-4．
故答案為6

2

-4．

點評：本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，切線的性質，勾股定理等知識，綜合性較強，有一定難度．通過作輔助線，求出圓Q的半徑是解題的關鍵．