Question

9．如圖①，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，點A，B分別在坐標軸上
（1）當點C的橫坐標為5時，求B點的坐標．
（2）在等腰Rt△ABC運動過程中，位置如圖②所示，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于M，過C作CD⊥x軸于D，求$\frac{CD}{AM}$的值．
（3）若A的坐標為（-4，0），點B在y軸正半軸上運動時，如圖③分別以O(shè)B，AB為邊在第一，第二象限作等腰Rt△OBF和等腰Rt△ABE，連EF交y軸于P點，當點B在y軸上運動時，有結(jié)論①PB的長為定值和結(jié)論②EF-EB的值為定值，其中有且只有一個結(jié)論正確，請選擇，并求其值．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）設(shè)AB=BC=a，根據(jù)勾股定理求出AC=$\sqrt{2}$a，根據(jù)MA（即x軸）平分∠BAC，得到$\frac{BM}{MC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a，AM=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，再證明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{CM}$，即可求得CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，再除以AM解答即可，
（3）結(jié)論①PB的長為定值和結(jié)論正確；作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=$\frac{1}{2}$AO，即可解題．

解答 解：（1）如圖1，

作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠BDC=90°}\\{∠CBD=∠BAO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BO=CD=5，
∴B點坐標（0，5）；

（2）設(shè)AB=BC=a，
則AC=$\sqrt{2}$a，
∵MA（即x軸）平分∠BAC，
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即MC=$\sqrt{2}$BM，
∵BC=BM+MC=a，
∴BM+$\sqrt{2}$BM=a，
解得BM=（$\sqrt{2}$-1）a，MC=（2-$\sqrt{2}$）a
則AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$a，
∵∠ABM=∠CDM=90°
且∠AMB=∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{CM}$，
即CD=$\frac{AB•CM}{AM}$，
∴$\frac{CD}{AM}$=$\frac{a（2-\sqrt{2}）a}{（\sqrt{4-2\sqrt{2}}a）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；

（3）結(jié)論①PB的長為定值和結(jié)論正確；
如圖3，

作EG⊥y軸于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BGE=90°}\\{∠BAO=∠EBG}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPG=∠FPB}\\{∠EGP=∠FBP=90°}\\{EG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB=PG，
∴PB=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AO=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關(guān)鍵．