Question

19．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線(xiàn)段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段BD，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）如圖1，若該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且a=-$\frac{1}{3}$．
①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線(xiàn)的解析式；
②連結(jié)CD，問(wèn)：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若該拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，且滿(mǎn)足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的值．

Answer 1

分析 （1）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先通過(guò)三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=-$\frac{1}{3}$，c=0代入y=ax²+bx+c即可求得拋物線(xiàn)的解析式；
②先證得CD∥x軸，進(jìn)而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），分兩種情況討論即可求得；
（2）若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，根據(jù)tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，得到直線(xiàn)OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線(xiàn)OQ與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）=0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$=0，解得a=$\frac{4±\sqrt{15}}{4}$，．

解答 解：（1）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐標(biāo)是（3，1），
根據(jù)題意，得a=-$\frac{1}{3}$，c=0，且a×3²+b×3+c=1，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
∴C（$\frac{1}{2}$，1），
∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，
∴CD∥x軸，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO與∠BCD互余，
要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），
（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，
則tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=$\frac{5}{4}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）；

（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3
則tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{11}{4}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
綜上，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），使得∠POB與∠BCD互余．

（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），
拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)E、D，代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$，
所以y=ax²-4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當(dāng)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c開(kāi)口向下時(shí)，若滿(mǎn)足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是3個(gè) 
②當(dāng)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c開(kāi)口向上時(shí)，
（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線(xiàn)OQ與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c必有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q必定有2個(gè)；
（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線(xiàn)OQ與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c只有1個(gè)交點(diǎn)，才能使符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)．
根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，此時(shí)直線(xiàn)OQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x，要使直線(xiàn)OQ與拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）=0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$=0，解得a=$\frac{4±\sqrt{15}}{4}$，
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸下方
∴$\frac{4a（3a+1）-16{a}^{2}}{4a}$＜0，
∴a＞1，
∴a=$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去
綜上所述，a的值為a=$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)等，分類(lèi)討論的思想是本題的關(guān)鍵．