Question

5．如圖，EG是⊙O的直徑，EB，GC，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，BE=2，CG=3，求tan∠BCO的值．

Answer 1

分析 首先利用勾股定理得出直徑的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△OBE∽△COG，進(jìn)而得出答案．

解答 解：過點(diǎn)B作BN⊥GC，
∵EB，GC，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，
∴∠GEB=∠EGB=∠BNG=90°，
∴四邊形EGNB是矩形，
∵BE=2，CG=3，
∴BF=GN=BE=2，GC=FC=3，
∴BC=5，NC=1，
∴BN=$\sqrt{B{C}^{2}-N{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴EG=2$\sqrt{6}$，
∴EO=OG=$\sqrt{6}$，
∵EB，GC，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，
∴∠EBO=∠OBC，∠BCO=∠OCG，
∵四邊形EGNB是矩形，
∴BE∥GC，
∴∠EBC+∠BCG=180°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠GOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠COG，
又∵∠OEB=∠OGC=90°，
∴△OBE∽△COG，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{EB}{GO}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=tan∠BCO，
故tan∠BCO=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出△OBE∽△COG是解題關(guān)鍵．