Question

如圖1，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A、C分別在x軸、y軸上，點B的坐標(biāo)為（

3

，1），在BC邊上選取適當(dāng)?shù)狞cD，將△OCD沿OD翻折，點C落在點E處，得到△OED．
（1）若點E與點A、點B構(gòu)成等腰三角形，求點E的坐標(biāo)；
（2）若點E在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上（如圖2），求點D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)線段OD與直線EA垂直時（如圖3），求△CDE的外接圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）分①AB=BE時，根據(jù)勾股定理求出OB=2，從而判斷出O、E、B三點共線，從而確定點E為矩形OABC的中心，然后根據(jù)點B的坐標(biāo)寫出即可；
②AE=BE，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以判定點E的縱坐標(biāo)為

1

2

，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=OC=1，過點E作EF⊥OA于點F，根據(jù)勾股定理求出OF的長度，即可得到點E的坐標(biāo)；
③AE=AB時，可以得到AE=OE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點E在OA的垂直平分線上，然后利用勾股定理求出點E到OA的距離EF的長度，即可得解；
（2）過點E作OC的平行線交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，然后根據(jù)直線解析式設(shè)出點E的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求解得到點E的坐標(biāo)，然后證明△OGE和△EFD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DF的長度，然后求出CD的長度，即可得到點D的坐標(biāo)；
（3）連接CE，根據(jù)翻折的對稱性可得CE⊥OD，再根據(jù)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得A、E、C三點共線，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠OAE=∠COD，再根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后利用∠OAE與∠COD的余弦值相等列式求解即可得到OD的長度，再證明△CDE的外接圓是以O(shè)D為直徑的圓，從而得解．

解答：解：（1）∵B（

3

，1），
∴AB=OC=1，
OB=

12+( 3 )2

=2，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，OE=OC=1，
①AB=BE時，則OE+BE=OB=2，
所以，點O、E、B三點共線，且點E是OB的中點，
∵O（0，0），B（

3

，1），
∴點E的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
②AE=BE時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點E在AB的垂直平分線上，
所以，點E的縱坐標(biāo)為

1

2

，
過點E作EF⊥OA于點F，則OF=

OE2-EF2

=

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
所以，點E的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
③AE=AB時，∵OE=AE=1，
∴點E在OA的垂直平分線上，
∴OF=

1

2

OA=

3

2

，
∴EF=

OE2-EF2

=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴點E的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

），
綜上所述，點E的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

）；

（2）如圖2，過點E作OC的平行線交BE于F，交OA于G，可得EF⊥BC，EG⊥OA，
∵點E在一次函數(shù)y=2x-1的圖象上，
∴設(shè)點E坐標(biāo)為（a，2a-1），
在Rt△OEG中，OE²=EG²+OG²，
即1²=（2a-1）²+a²，
整理得，5a²-4a=0，
解得a₁=0（舍去），a₂=

4

5

，
∴OG=

4

5

，EG=2×

4

5

-1=

3

5

，
∴EF=FG-EG=1-

3

5

=

2

5

，
根據(jù)翻折，∠DEO=∠OCD=90°，
∴∠DEF+∠OEG=180°-90°=90°，
∵∠EOG+∠OEG=90°，
∴∠EOG=∠DEF，
又∵∠EDF=∠OGE=90°，
∴△OGE∽△EFD，
∴

EG

DF

=

OG

EF

，
即

3 5

DF

=

4 5

2 5

，
解得DF=

3

10

，
∴CD=CF-DF=OG-DF=

4

5

-

3

10

=

1

2

，
∴點D的坐標(biāo)為（

1

2

，1）；

（3）如圖3，連接CE，根據(jù)翻折對稱性，CE⊥OD，
∵AE⊥OD，
∴A、E、C三點共線，
∵∠OAE+∠OCE=90°，∠COD+∠OCE=90°，
∴∠OAE=∠COD，
矩形OABC的對角線AC=OB=2，
∵cos∠OAE=

OA

AC

=

3

2

，
cos∠COD=

OC

OD

=

1

OD

，
∴

1

OD

=

3

2

，
解得OD=

2 3

3

，
∵OD是Rt△OCD與Rt△ODE的斜邊，
∴點O、C、D、E四點共圓，且OD是外接圓的直徑，
∴△CDE的外接圓的半徑為：

1

2

OD=

1

2

×

2 3

3

=

3

3

．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）要根據(jù)等腰三角形的腰進(jìn)行討論，（2）先根據(jù)直線解析式求出點E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（3）判斷出點A、E、C三點共線是解題的關(guān)鍵．