Question

如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與軸交于點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若P為線(xiàn)段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn)F是第一象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為          時(shí)，四邊形FQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為           時(shí)，四邊形FQAC是等腰梯形(直接寫(xiě)出結(jié)果，不寫(xiě)求解過(guò)程)．

Answer 1

（1），（1，4）；(2)； (3)，（）；(4) （2，3）；（）.

試題分析：（1）拋物線(xiàn)的解析式為：,將點(diǎn)C(0，3)代入即可求出拋物線(xiàn)的解析式，再化成頂點(diǎn)式從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)D.
(2)先求出直線(xiàn)BD的解析式為，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：.
(3)用割補(bǔ)法求出，再配成頂點(diǎn)式，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.
(4)四邊形PQAC為平行四邊形或等腰梯形時(shí)，需要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)求出P點(diǎn)坐標(biāo)：①當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時(shí)，如答圖1所示．構(gòu)造全等三角形求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用P點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PQAC為平行四邊形時(shí)，如答圖2所示．利用等腰梯形、平行四邊形、全等三角形以及線(xiàn)段之間的三角函數(shù)關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
                 
答圖1                                             答圖2
試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：
又∵拋物線(xiàn) 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，
∴
∴
∴
即拋物線(xiàn)的解析式為：
∴
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）
（2）設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為：
由B（3，0），D（1，4）得
解得
∴直線(xiàn)BD的解析式為
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)PD上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：
（3）由（1），（2）知：
OA=1，OC=3，OM=m，PM=
∴



∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形PMAC的面積取得最大值為.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）.
（4）（2，3）；（）.
考點(diǎn):二次函數(shù)及其應(yīng)用