Question

請(qǐng)閱讀下列材料：如圖甲，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O．由矩形的性質(zhì)得，BO=AO=

1

2

AC．于是我們得到定理1：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
前面的條件不變，若∠ACB=30°，由矩形的性質(zhì)得，∠AOB=60°，所以△ABO為等邊三角形，所以AB=AO=

1

2

AC．于是我們得到定理2：直角三角形中，30°的直角邊等于斜邊的一半．請(qǐng)你運(yùn)用以上兩個(gè)定理，解答下面兩題：
（1）如圖乙，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DF平分∠ADC交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，∠BDF=15°，則∠COF=

 

 度；
（2）如圖丙，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，D為EF的中點(diǎn)，求AD的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)DF平分∠ADC與∠BDF=15°可以計(jì)算出∠CDO=60°，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得OD=OC，從而得到△OCD是等邊三角形，再證明△COF是等腰三角形，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可；
（2）先判斷四邊形AEPF是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出，EF，AP互相平分，且EF=AP，垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AD的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．

解答：解：（1）∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=CF，
∵∠BDF=15°，
∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，
在矩形ABCD中，OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC=CD，∠OCD=60°，
∴OC=CF，∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°，
在△COF中，∠COF=

1

2

（180°-30°）=75°．
故答案為：75；
（2）在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∵AB²+AC²=16+9=25=5²=BC²，
∴△ABC是Rt△，且∠BAC=90°
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交點(diǎn)就是D點(diǎn)．
∵當(dāng)AP的值最小時(shí)，AD的值就最小，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AD的值最�。�
∵

1

2

AP•BC=

1

2

AB•AC，
∴AP•BC=AB•AC．
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴5AP=3×4，
∴AP=

12

5

．
∴AD=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記各性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．